Геометрия и топология - мир удивительных объектов
Курс представляет собой знакомство с многообразием различных направлений современной геометрии и топологии. В курсе будут рассмотрены различные вопросы применения геометрических и топологических объектов к различным практическим задачам.
Программа курса:
1) Графы, связные графы, планарные графы. Формула Эйлера для плоского графа и многогранников. Планарность и непланаронсть графов.
2) Узлы. Картинки узлов. Что такое инвариант. Произведение узлов. Простые и составные узлы. Почему морской узел не развязывается.
3) Вокруг теорем Жордана и Вейерштрасса. Если путешественник едет с северного полюса на южный, то он обязательно ли он пересечет экватор?
4) Поверхности. Чем отличается сфера от шара. Чем отличается бублик от поверхности бублика. Превращаем бублик в кофейную кружку. Режем ленту Мёбиуса и цилиндр, перекрученный цилиндр. Сферы с ручками. Сферы с ручками и дырками. Род поверхности. Бутылка Клейна.
5) Склеивание поверхностей. Склеивание тора и бутылки Клейна из квадрата. Прогулки по поверхностям. Понятие гомологии, петельки. Связная сумма поверхностей.
6) Причесывание ёжиков. Если ёжик круглый или если с дыркой, то можно ли его причесать?
7) Понятие динамической системы (или векторного поля), траектории. Спирали и локсодромия. Траектория, связь скорости и касательной, ускорения и кривизны.
8) Карты на поверхности. Понятие системы координат. Кривизна системы координат. Кривизна географических карт. Что такое геодезическая.
9) Понятие предела или охота на слона в пустыне. Деление отрезка пополам. Примеры пределов и рядов.
10) Площадь. Как ее считать. Что такое вероятность и чем она похожа на площадь.