Современная математика: от основ к искусственному интеллекту
Пояснительная записка
Курс состоит из трех взаимосвязанных частей.
Первая часть посвящена введению в теорию множеств, которая является фундаментальной основной большинства математических дисциплин. Будут рассмотрены различные вопросы, связанные с операциями над множествами, свойствами множеств, а также некоторые парадоксы теории множеств.
Вторая часть посвящена введению в математическую логику. Аспекты математической логики, как правило, игнорируются в базовом школьном курсе математике. Однако математическая логика является важнейшей компонентой любых математических теориях и рассуждениях. Кроме того, математическая логика тесным образом связана с теорией алгоритмов и программированием. Изучение математической логики позволяет развивать математическое мышление, а так же помогает в решении школьных и олимпиадных математических задач.
Третья часть посвящена введению в теорию алгоритмов. Теория алгоритмов является междисциплинарной наукой, которая лежит на стыке математики, информатики и философии. В курсе будут рассмотрены понятия детерминированных и недетерминированных алгоритмов, алгоритмически разрешимых и алгоритмически неразрешимых задач. Так же будут рассмотрены вопросы, связанные с возможностью создания искусственного интеллекта. Освоение понятия «алгоритм» позволяет ни только расширить общенаучный кругозор, но и научиться применять на практике различные алгоритмы для решения различных задач.
Занятия проходят в лекционно-семинарской форме. Курс состоит из 10 занятий. Продолжительность каждого занятия составляет 2 академических часа.
Программа курса
1. Вводная лекция. Миры дискретной и «непрерывной» математики. Фрактальные объекты, фракталы в природе. Как пощупать 4-x мерный куб. Динамические системы, клеточные автоматы, игра «life».
2. Основы теории множеств. Операции над множествами, связь с логическими операциями и семантикой языка. Множество всех подмножеств.
3. Основы теории чисел. Натуральные, целые, рациональные числа. Счетные множества. Действительные числа. Несчетность множества действительных чисел.
4. Основы математической логики. Логические операции. Полнота системы логических операций.
5. Схемы функциональных элементов. Методы синтеза схем.
6. Конечные автоматы. Понятие конечного автомата. Диаграмма Мура. Моделирование процессов в конечных автоматах.
7. Алгоритмы. Неформальное и формальное понятие алгоритма. Машина Тюринга. Способы задания алгоритмов. Сложность алгоритмов.
8. Алгоритмически разрешимые и алгоритмически неразрешимые задачи. Проблема самоприменимости.
9. Интеллектуальные системы. Возможность создания искусственного интеллекта.
10. Результирующее занятие. Систематизация пройденного материала.